Hardyn epäyhtälö Navigointivalikkolaajentamalla
Epäyhtälöt
matematiikassamelkein kaikkialla
Hardyn epäyhtälö kuuluu matematiikassa seuraavasti: Olkoon A=a1,a2,... jono epänegatiivisia reaalilukuja ja f epänegatiivinen integroituva funktio. Merkitään
- An=a1+a2+⋯+andisplaystyle A_n=a_1+a_2+cdots +a_n
ja
F(x)=∫0xf(t)dtdisplaystyle F(x)=int _0^xf(t)operatorname d t.
Tällöin kaikilla p > 1 on voimassa
- ∑n=1∞(Ann)p<(pp−1)p∑n=1∞(an)pdisplaystyle sum _n=1^infty left(frac A_nnright)^p<left(frac pp-1right)^psum _n=1^infty (a_n)^p
jos (an) ei ole nolla kaikilla indekseillä n. Integroituvalle funktiolle F Hardyn epäyhtälö sanoo
∫0∞(F(x)x)pdisplaystyle int _0^infty left(frac F(x)xright)^pdx<(pp−1)p∫0∞(f(x))pdxdisplaystyle operatorname d x<left(frac pp-1right)^pint _0^infty (f(x))^poperatorname d x.
Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikkialla.
